DIT BIJZONDERE BOEK uit 2024 heeft als titel: The Largest Known Prime Number: The 52nd Mersenne Prime.(nvpv: Het Hoogst Gekende Priemgetal. Het 52ste Mersenne priemgetal.).

Het boek bevat – u hebt het al geraden – het hoogst gekende priemgetal, een getal dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf. Het getal start op pagina 1 links bovenaan om dan te eindigen, na 41.024.320 cijfers, ergens in het midden van pagina 989. Het boek ziet er zo uit (met dank aan M):

De ontdekking van dit getal werd op 12 oktober 2024 bekendgemaakt aan de Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) door Luke Durant, een 36-jarige onderzoeker uit San Jose, Californië. Dit nieuwe priemgetal, ook bekend als M136279841, wordt berekend door het getal ‘twee’ 136.279.841 maal te vermenigvuldigen met twee en het gevonden getal te verminderen met 1.

Het lijkt een curiositeit: een boek van 989 pagina’s met slechts één getal. Maar achter die eindeloze reeks cijfers schuilt een verhaal over orde in de ogenschijnlijke chaos. Priemgetallen zijn immers de onzichtbare bouwstene n van alle natuurlijke getallen. Ze helpen wiskundigen om structuur te ontdekken waar we eerst alleen willekeur zagen. Priemgetallen worden niet alleen gebruikt bij fundamenteel wiskundig onderzoek, maar ook in onze dagelijkse leven, vooral in de digitale wereld waarin we leven: bij online bankieren, wachtwoorden, beveiliging, computerspelletjes, wifi, bluetooth, digitaal handtekenen …

Dit boek toont hoe ver we willen en kunnen gaan om orde te vinden — en hoe wiskunde tegelijk puur spel én pure ernst kan zijn.

Zin in meer toelichting. Spring dan voorbij ‘the dude’.

PRIEMGETALLEN

Een priemgetal is een getal dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf. Bijvoorbeeld: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … Priemgetallen zijn belangrijk omdat ze de bouwstenen vormen van alle andere getallen. Zoals atomen de basis vormen van moleculen, zo vormen priemgetallen de basis van de rekenkunde. Zo kan je elk getal groter dan 1 op precies één manier schrijven als een vermenigvuldiging van priemgetallen. Dat principe heet de hoofdstelling van de rekenkunde. Bijvoorbeeld:

• 30 = 2 × 3 × 5
• 77 = 7 × 11
• 91 = 7 × 13

Wiskundigen zijn al eeuwenlang gefascineerd door priemgetallen. Al in 300 v.Chr. formuleerde Euclides enkele fundamentele stellingen, waaronder de hoofdstelling van de rekenkunde én het bewijs dat er altijd een groter priemgetal bestaat dan het laatst gevonden. Vanaf de 17e eeuw werd de studie van priemgetallen systematischer. Nieuwe vragen doken op: hoe zijn priemgetallen verdeeld? Kunnen we vooraf voorspellen waar ze zich bevinden? En: hoe vind je efficiënt een heel groot priemgetal?

MERSENNE

Marin Mersenne (1588–1648) was zo’n wiskundige en priester. Hij speelde een belangrijke rol in de verspreiding van wiskundige en wetenschappelijke kennis. Mersenne verdedigde Descartes en Galilei tegen theologische kritiek en trachtte het pseudowetenschappelijk karakter van de alchemie en de astrologie aan te tonen.

Zelf was deze Minderbroeder ook onderzoeker. Hij zocht naar de orde en de structuur in de wereld van getallen. Hij probeerde een formule te vinden die alle priemgetallen zou voortbrengen of bevatten. In dat onderzoek bekeek hij specifiek de relatie tussen priemgetallen en perfecte getallen. Tot zijn eigen wiskundige resultaten behoort het bedenken van wat later de mersennepriemgetallen werden genoemd (zie hieronder).

PERFECTE GETALLEN

Een perfect getal is een getal waarvan de som van zijn delers (zonder zichzelf) precies gelijk is aan het getal zelf.

Voorbeeld:

• 6 heeft als delers: 1, 2 en 3
  1 + 2 + 3 = 6 →  een perfect getal.
• 28 heeft als delers: 1, 2, 4, 7 en 14
  1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 → ook  een perfect getal.

Perfecte getallen zijn zeldzaam en mysterieus. Tot op vandaag is er geen formule bekend om ze allemaal te vinden, en niemand weet of er oneindig veel van bestaan.
In de middeleeuwen kregen perfecte getallen een diepere betekenis. Ze golden als symbolen van goddelijke orde en harmonie. De kerkvader Augustinus zag in het getal 6 een teken van volmaaktheid. Thomas van Aquino schreef, in zijn voetspoor, dat God de schepping in zes dagen voltooide — niet uit noodzaak, maar omdat het getal zes het eerste perfecte getal is. Het is dan ook niet toevalligl dat Marin Mersenne, priester én wiskundige, gefascineerd was door deze getallen. Voor hem waren ze niet alleen een wiskundig raadsel, maar ook een venster op de structuur van de schepping.

EEN MERSENNEGETAL

Tijdens zijn onderzoek kwam Mersenne tot de ontdekking die van belang zou zijn in het onderzoek naar priemgetallen. Uitgedrukt in een formule: M_n=2ⁿ−1 waarbij n een positief geheel getal is. 

Het resultaat van dergelijke berekeningen worden mersennegetallen genoemd. Bijvoorbeeld: de formule voor het mersennegetal (M) van het cijfer 4 (M₄) is: 
M₄= 2⁴−1
Uitgerekend is M₄ dan:
(2x2x2x2)-1=
(16)-1 =
15 → een mersennegetal

De clou van een mersennegetal en zijn formule zit in zijn eenvoudige vorm, eigenschappen en toepassingen. In de zoektocht van Mersenne naar orde in het rijk van de getallen bleken deze getallen buitengewoon nuttig. Omdat ze zo'n propere vorm hebben, zijn ze sneller te gebruiken in berekeningen. Met deze formule ging Mersenne aan de slag met priemgetallen.

EEN MERSENNEPRIEMGETAL

Zoals gezegd, een priemgetal is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf. Als het resultaat van M_n=2ⁿ−1 een priemgetal is, dan noem je dat getal een mersennepriemgetal.

Het bovenstaande voorbeeld M₄= 2⁴−1 levert géén priemgetal want 15 is deelbaar door 1, 3, 5 en 15. Het is dus een mersennegetal maar geen mersennepriemgetal.

Als we bijvoorbeeld zoeken naar het mersennegetal van 5 dan krijgen we een priemgetal als resultaat: 
M₅= 2⁵−1
Uitgerekend is M₅ dan:
(2x2x2x2x2)-1=
(32)-1 =
31 → een priemgetal

Dus: alle mersennepriemgetallen zijn mersennegetallen, maar niet alle mersennegetallen zijn priemgetallen.

Ze noemen deze getallen mersennegetallen en mersennepriemgetallen omdat Mersenne een van de eersten was die een patroon zag in getallen van de vorm 2ⁿ−1 en die koppelde aan priemgetallen.

UITEINDELIJK KOMT ALLES SAMEN

En nu komt alles samen: priemgetallen, mersennegetallen, mersennepriemgetallen, perfecte getallen.

Zoals gezegd, een mersennepriemgetal is een priemgetal van de vorm 2^p - 1, waarbij p ook een priemgetal is. Met een mersennepriemgetal kan je een perfect getal maken via de eenvoudige formule 2^p-1.(2^p-1), waarbij p het priemgetal is. Een voorbeeld:
In de formule 2^p - 1 nemen we p=5. 5 is een priemgetal, want enkel deelbaar door 1 en door 5.
De formule wordt dan 2⁵ - 1 .
2⁵ - 1 geeft dan 31 (zie hoger). 31 is een priemgetal, enkel deelbaar door 1 en 31.
5 en 31 zijn priemgetallen. 

Op basis van dit resultaat kunnen we een perfect getal maken volgens de formule 2^p-1.(2^p-1). Toegepast op ons voorbeeld.
2^p-1.(2^p-1)
2^5-1.(2⁵-1)=
2⁴⋅(31)=
16⋅31=
496 →  een perfect getal.

496 is een perfect getal, want het is gelijk aan de optelsom van zijn delers:

• De delers van 496 zijn: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248
• Som van de delers: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

De eerste acht perfecte getallen

De grotere bekende perfecte getallen hebben zoveel cijfers (sommigen tot in de miljoenen cijfers) dat ze niet zomaar in één regel kunnen worden geschreven. Je hebt er een boek voor nodig van, bijvoorbeeld 958 bladzijden.

Van Euclides’ idee van perfecte getallen tot Mersennes onderzoek naar hun oorsprong tot de toepassingen ervan in onze digitale wereld, loopt een haast onzichtbare draad die generaties verbindt door de getaltheorie en een eindeloze zoektocht die duizenden jaren overspant… En zo keert een wiskundige zoektocht terug naar iets fundamenteels: de honger naar orde, schoonheid en betekenis. In miljoenen cijfers, in een boek van bijna duizend bladzijden, weerklinkt iets van menselijke nieuwsgierigheid — én misschien dan toch wel iets van goddelijke perfectie. 🙂

Nog even dit

Philipi Schneider, The Largest Known Prime Number: The 52nd Mersenne Prime, 2024, Ninety Three, 9786501195544

De oubollige website van de Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) 

Jack Murtagh, “Record-Breaking Prime Number, 41 Million Digits Long, Blows Mathematicians’ Mind”, in: Scientific American, November 1, 2024

Lijst van de priemgetallen en vermoedelijke priemgetallen: wikipedia.